Question

如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的东北方向20

2

km处，B岛在O岛的正东方向10km处．
（1）以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，试写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；
（2）已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处，正沿东北方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

Answer 1

分析：（1）如图所示：由已知A在O的东北方向20

2

km，B在O的正东方向10km．即可得到A(20

2

cos45°，20

2

sin45°)．再利用两点间的距离公式即可得到|AB|．
（2）设过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．将O（0，0）、A（20，20），B（10，0）代入上式即可解得D，E，F．即可得到圆的方程．得到圆心与半径．设船起初所在的点为C，则C(-10，-10

3

)，且该船航线所在直线的斜率为1，由点斜式方程即可得到直线方程．利用点到直线的距离公式即可圆心到直线的距离，再与半径比较即可．

解答：解：（1）如图所示：∵A在O的东北方向20

2

km，B在O的正东方向10km．
∴A(20

2

cos45°，20

2

sin45°)，即A（20，20），B（10，0）．
由两点间的距离公式知|AB|=

(20-10)2+202

=10

5

km．
（2）设过O、A、B三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
将O（0，0）、A（20，20），B（10，0）代入上式得：

F=0 202+202+20D+20E+F=0 102+10D+F=0

，
解得：D=-10，E=-30，F=0．
∴圆的方程为x²+y²-10x-30y=0．圆心为（5，15），r=5

10

．
设船起初所在的点为C，则C(-10，-10

3

)，
且该船航线所在直线的斜率为1，
由点斜式方程知：y+10

3

=x+10
即：x-y+10-10

3

=0．
圆心到此直线的距离d=

|5-15+10-10 3 |

2

=5

6

＜5

10

．
∴有触礁的危险．

点评：熟练掌握圆的标准方程与一般式方程、点到直线的距离公式等是解题的关键．