题目内容
椭圆ax2+by2=1与直线y=1-2x相交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为
，则
的值为（ ）
| ||
| 2 |
| a |
| b |
分析：设出A，B两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，则A，B中点坐标可求，由斜率公式列式可得
的值．
| a |
| b |
解答：解：设：点A（x1，y1），B（x2，y2），
把y=1-2x代入椭圆ax2+by2=1得：（a+4b）x2-4bx+b-1=0
△=（-4b）2-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．
x1+x2=
，x1x2=
．
=
，
=
=
=1-(x1+x2)=1-
=
．
设M是线段AB的中点，∴M（
，
）．
∴直线OM的斜率为
=
=
．
则
=
．代入①满足△＞0（a＞0，b＞0）．
故选A．
把y=1-2x代入椭圆ax2+by2=1得：（a+4b）x2-4bx+b-1=0
△=（-4b）2-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．
x1+x2=
| 4b |
| a+4b |
| b-1 |
| a+4b |
| x1+x2 |
| 2 |
| 2b |
| a+4b |
| y1+y2 |
| 2 |
| 1-2x1+1-2x2 |
| 2 |
| 2-2(x1+x2) |
| 2 |
| 4b |
| a+4b |
| a |
| a+4b |
设M是线段AB的中点，∴M（
| 2b |
| a+4b |
| a |
| a+4b |
∴直线OM的斜率为
| ||
|
| a |
| 2b |
| ||
| 2 |
则
| a |
| b |
| 3 |
故选A．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训练了斜率公式的应用，是中档题．
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