题目内容

如图，空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），现将△AOB按向量
p
=(0， -1， 
3
)平移到△A'O'B'．
（Ⅰ）写出三点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ）求证：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．
分析：（Ⅰ）先分别写出
OA′
，
OB′
，
OO/
的坐标，即可得到点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ） 要证AB'⊥BO'；只需证明对应的数量积为0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的数量积公式求面面角．
解答：解：（Ⅰ）
OA′
=
OA
+
AA′
=
OA
+
p
=（1，0，0）+（0，-1，
3
)=(1，-1，
3
)，
同理
OB′
=(0，2，0）+（0，-1，
3
)=（0，1，
3
)，又
OO′
=
p
=(0，-1，
3
)，
所以A'（1，-1，
3
)，O'（0，-1，
3
)，B'（0，1，
3
)；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）
AB′
=(0，1，
3
)-(1，0，0）=（-1，1，
3
)，
BO′
=(0，-1，
3
)-(0，2，0）=（0，-3，
3
)，
而
AB′
•
BO′
=(-1)×0+1×(-3)+
3
×
3
=0，所以
AB′
⊥
BO′
，即AB'⊥BO'；
（Ⅲ）设平面ABB'的法向量为
m
=(x，y，z），则
m
⊥
BB′
且
m
⊥
AB′
，
所以
m
•
BB′
=0且
m
•
AB′
=0，即
-y+
3
z=0
-x+y+
3
z=0
，取z=1，得x=2
3
，y=
3
，
所以
m
=(2
3
，
3
，1）．又平面OBB'的一个法向量是
n
=(1，0，0），cos＜
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|
n
|
=
2
3
(2
3
)2+(
3
)2+1
=
3
2
，
所以＜
m
，
n
＞=30°，从而二面角A-BB'-O的大小为30°．
点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间向量的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．
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3
2
，
1
2
，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
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OD
的坐标；
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AD
和
BC
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