Question

平面直角坐标系xOy中，动点P从点P₀（4，0）出发，运动过程中，到定点F（-2，0）的距离与到定直线l：x=-8的距离之比为常数．
①求点P的轨迹方程；
②在轨迹上是否存在点M（s，t），使得以M为圆心且经过定点F（-2，0）的圆与直线x=8相交于两点A、B？若存在，求s的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：①直接代入公式即可求得点P的轨迹方程；
②先把圆与直线x=8相交于两点转化为圆心M到直线x=8的距离小于圆的半径|MF|；再借助于①的结果即可求s的取值范围．

解答：解：①设P（x，y）是轨迹上任意一点，根据两点距离公式和点到直线距离公式，依题意有，

(x+2)2+y2

|x+8|

=

4+2

4+8

=

1

2

，化简得

x2

16

+

y2

12

=1．
②“圆与直线x=8相交于两点”当且仅当圆心M到直线x=8的距离小于圆的半径|MF|，|s-8|＜|MF|，
由①知|MF|=

1

2

|s+8|，
所以|s-8|＜

1

2

|s+8|，
又由①知-4≤s≤4，
所以8-s＜

1

2

(s+8)，解得

8

3

＜s≤4．

点评：本题是椭圆与圆的综合，解题要求先用轨迹法求轨迹方程，再讨论动点的几何性质，关键是数形结合，将方程中数量的几何意义应用于曲线几何属性的量化，将①的结果自然地应用于②的求解．