题目内容

已知直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆 $数学公式$ 相交于E，F两点，与x轴相交于点B．，且当m=0时，|EF|= $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A的坐标为（-3，0），直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点．试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．

解：（1）当m=0时，直线l的方程为x=1，设点E在x轴上方，
由 $\text{[math]}$ ，解得E（1， $\text{[math]}$ ），F（1，- $\text{[math]}$ ）．
所以|EF|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得t=2．
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，得（2m²+9）y²+4my-16=0，显然m∈R．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$ ．
x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直线AE的方程为y= $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，解得M（3， $\text{[math]}$ ），
同理得N（3， $\text{[math]}$ ）．又B（1，0），
所以 $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ），
又因为 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（2， $\text{[math]}$ ）•（2， $\text{[math]}$ ）
=4+ $\text{[math]}$ =4+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ =0．
所以 $\text{[math]}$ ，所以以MN为直径的圆过点B．
分析：（1）m=0时直线l的方程与椭圆方程联立解得E，F坐标，据|EF|= $\text{[math]}$ 得到关于t的方程，解出即可．
（2）由 $\text{[math]}$ 消x得到关于y的一元二次方程，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由韦达定理可用m表示y₁，y₂，根据已知条件可求出M，N坐标，判断以MN为直径的圆是否经过点B，只需判断是否有 $\text{[math]}$ ，进而转化为是否有 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，通过计算即可验证．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的标准方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，有一定难度．