Question

【题目】已知椭圆的左．右焦点为，离心率为.直线与轴，轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设.

（1）证明：；

（2）若，的周长为；写出椭圆的方程；

（3）确定的值，使得是等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，是等腰三角形

【解析】

（1）分别求出坐标，利用向量共线的坐标运算可构造关于的方程，整理即可证得结果；（2）利用（1）的结论求得，根据焦点三角形周长为可得到关于方程，求得后，根据求得，进而得到椭圆方程；（3）根据可知若为等腰三角形，则需，即点到直线距离，利用点到直线距离公式构造方程可求得，根据（1）的结论得到结果.

（1）为与轴的交点 ，

由得：，即

，

，整理可得：

（2）由（1）得：，解得：，即

周长为，即 ，

椭圆的方程为：

（3） 为钝角

若是等腰三角形，则

设到直线距离为，则需

，即，解得：

由（1）得：

当时，是等腰三角形