题目内容
18.已知向量$\overrightarrow{a}$=2(sin2x-1,cosx),$\overrightarrow{b}$=(1,2cosx),设函数f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期.
(Ⅱ)求函数f(x)在m[0,$\frac{π}{2}$]时的最大值与最小值.
分析 (1)根据题意,利用数量积以及三角恒等变换公式可得$f(x)=\overrightarrow a•\overline b=sin2x-1+2{cos^2}x$=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$,由正弦函数的性质计算可得答案;
(2)由(1)的结论,结合正弦函数的图象性质,分析可得答案.
解答 解:(1)$f(x)=\overrightarrow a•\overline b=sin2x-1+2{cos^2}x$=$sin2x+cos2x=\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$…(4分)
∴函数f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π…(5分)
(2)∵$x∈[{0,\frac{π}{2}}]$,
∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4},\frac{5π}{4}}]$
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$时,即$x=\frac{π}{8}$时,$f{(x)_{max}}=\sqrt{2}$
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$时,即$x=\frac{π}{2}$时,f(x)min=-1…(10分)
点评 本题考查三角函数的恒等变换的运用,关键是利用三角函数的有关公式,将$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$变形为Asin(ωx+φ)的形式.
练习册系列答案
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