题目内容
4.求函数y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$的值域.分析 通过换元法求出函数的值域即可.
解答 解:由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$,解得:1≤x≤2,
令x=1+sin2α,α∈[0,$\frac{π}{2}$],
∴y=$\sqrt{1{+sin}^{2}α-1}$+$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$
=sinα+cosα
=$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$),
由0≤α≤$\frac{π}{2}$,得:0≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$,
∴当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时,sin(α+$\frac{π}{4}$)取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$,此时y=1,
当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时,取得最大值1,此时y=$\sqrt{2}$,
∴1≤y≤$\sqrt{2}$,
故函数的值域是:[1,$\sqrt{2}$].
点评 本题考查了函数的值域问题,是一道中档题.
练习册系列答案
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A. | n2+n | B. | $\frac{(n-1)(n+2)}{2}$ | C. | (n-1)(n+2) | D. | $\frac{n(n+1)}{2}$ |