Question

【题目】设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．

Answer 1

【答案】(1)单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导函数的正负讨论函数的单调性；取导函数大于等于0的区间即增区间，导函数小于等于0的区间为减区间。（2）根据第一问得到函数是增函数，再根据零点存在定理得到函数存在零点，又因为单调故证得零点唯一性。

解析：

(1)解：f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex

＝(x＋1)2ex，x∈R，f′(x)≥0恒成立．

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．无减区间。

(2)证明　∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a，

∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，

∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一个零点，

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上递增，

∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．