题目内容

已知函数 (n∈N*).?

(1)当n=1,2,3,…时,把已知函数的图象和直线y=1的交点的横坐标依次记为a1,a2,a3,…,求证:a1+a2+…+an＜1;??

(2)对于每一个n的值,设An、Bn为已知函数的图象上与x轴距离为1的两点,求证:n取任意一个正整数时,以AnBn为直径的圆都与一条定直线相切,并求出这条定直线的方程和切点的坐标.

解析:原函数可化为y= log2x.?

（1）y=1时，可求得x=()n,?

即an=()n= ()n-1.?

∴{an}是以为首项，以为公比的等比数列.?

∴a1+a2+a3+…+an=

（2）同理可以求An、Bn的横坐标，可得An、Bn的坐标分别为（,1）、(2n,?-1)?.因此，|AnBn|=.故AnBn的中点C到y轴距离为.

∴以C为圆心，AnBn为直径的圆必定与定直线y轴相切，这条定直线的方程为x=0.?

由点C的纵坐标为0，可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点即切点，所以切点坐标为（0，0）.

练习册系列答案
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已知函数f(x)=
4x-2
x+1
(x≠-1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=4时，记bn=
an-2
a n-1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．
已知函数f(x)=
2x+1
x+2
(x≠-2，x∈R)，数列{an}满足a1=a（a≠-2，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=2时，记bn=
an-1
a n+1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．
已知函数f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时f（x）=2*，又当n∈N×时an=f（n），则a2010=
1
4
1
4
．
（2013•荆门模拟）已知函数f（x）满足对于?x∈R，均有f(x)+2f(-x)=ax+2(
1
a
)x+xlna(a＞1)成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最小值；
（3）证明：(
1
n
)n+(
2
n
)n+…+(
n
n
)n＜
e
e-1
(n∈N+)．

已知函数(n∈N+)，且y=f(x)的图象经过点(1，n2)，数列{an}(n∈N+)为等差数列.(1)求数列{ an}的通项公式；

(2)当n为奇函数时，设,是否存在自然数m和M，使不等式m<<M恒成立，若存在，求出M-m的最小值；若不存在，说明理由.

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