Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
∴函数f（x）是奇函数；…（5分）
（2）证明：设x₂＞x₁则x₁-x₂＜0
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1），
且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）
∴

-2＜-m＜2 -2＜1-m＜2 -2＜1-2m＜2 -m＞m-1

，解得：-

1

2

＜m＜

1

2

．…（16分）