题目内容
15．下列不等式中：①tanα+$\frac{1}{tanα}$≥2（α＞0）；
②sinA+$\frac{1}{sinA}$≥2（∠A是三角形的内角）；
③2x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2（x∈R）；
④$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{c-a}$＞0（a＞b＞c）．
在其条件下恒成立的是②③④（将成立的式子的序号都填上）．
分析 由基本不等式求最值的注意事项，逐个选项验证可得．
解答 解：①∵α＞0时，tanα可以为负值，
故不能推出tanα+$\frac{1}{tanα}$≥2，故错误；
②∵∠A是三角形的内角，∴0＜sinA≤1
由基本不等式可得sinA+$\frac{1}{sinA}$≥2
当且仅当sinA=$\frac{1}{sinA}$即sinA=1即A=90°时取等号，故正确；
③∵2x＞0，∴由基本不等式可得2x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2，
当且仅当2x=$\frac{1}{{2}^{x}}$即2x=1即x=0时取等号，故正确；
④∵a＞b＞c，∴0＜a-b＜a-c，
∴$\frac{1}{a-b}$＞$\frac{1}{a-c}$，
∴$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{c-a}$＞0，故正确．
故答案为：②③④
点评 本题考查基本不等式求最值，属基础题．
练习册系列答案
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| A． | （$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$） | B． | （$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$） | C． | （0，$\frac{π}{2}$） | D． | （$\frac{π}{2}$，π） |