Question

（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
（1）设a_i∈R₊，b_i∈R₊，i=1，2，…n，且a₁+a₂+…a_n=b₁+b₂+…b_n=2，求证：
（2）设a_i∈R₊（i=1，2，…n），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证不等式的左式=
=结合柯西不等式即可得到证明．
（2）先由排序不等式，得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁，a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₃+a₂a₄+…+a_na₂两式相加后结合柯西不等式即可得到证明．
解答：证明：（1）左式=
=
=
（2）由排序不等式，得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁，a₁²+a₂²+…+a_n²≥a₁a₃+a₂a₄+…+a_na₂
两式相加：2（a₁²+a₂²+…+a_n²）≥a₁（a₂+a₃）+a₂（a₃+a₄）…+a_n（a₁+a₂），从而

≥（a₁+a₂+…a_n）²，即证．
点评：本小题主要考查不等式的证明、排序不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．