题目内容
已知正整数集合A={a1,a2,a3,a4},B={a12,a22,a32,a42},其中a1<a2<a3<a4,A∩B={a1,a4},且a1+a4=10,A∪B中所有元素之和为114.
(1)求a1和a4的值;
(2)求A.
(1)求a1和a4的值;
(2)求A.
分析:先由a1<a2<a3<a4,A∩B={a1,a4}得a1=a12⇒a1=1;再代入条件求出a4=9,然后代入集合B验证看哪个为9时符合要求,即可求出集合A和B.
解答:解:(1)由a1<a2<a3<a4,A∩B={a1,a4},
可知a1=a12,∴a1=1
∵a1+a4=10,∴a4=9,
(2)若a22=9,a2=3,此时A={1,3,a3,9},B={1,9,a32,81},
则有(1+3+a3+9)+(a32+81)=114,
即a32+a3-20=0,
解得a3=4,(a3=-5舍去)
∴A={1,3,4,9},B={1,9,16,81}满足条件.
若a32=9,a3=3,此时只能有a2=2,
此时A={1,2,3,9},B={1,9,9,81},集合B不成立.
∴A={1,3,4,9},B={1,9,16,81}.
故A={1,3,4,9}.
可知a1=a12,∴a1=1
∵a1+a4=10,∴a4=9,
(2)若a22=9,a2=3,此时A={1,3,a3,9},B={1,9,a32,81},
则有(1+3+a3+9)+(a32+81)=114,
即a32+a3-20=0,
解得a3=4,(a3=-5舍去)
∴A={1,3,4,9},B={1,9,16,81}满足条件.
若a32=9,a3=3,此时只能有a2=2,
此时A={1,2,3,9},B={1,9,9,81},集合B不成立.
∴A={1,3,4,9},B={1,9,16,81}.
故A={1,3,4,9}.
点评:本题的关键点在于先利用条件求出a1和a4,注意要根据条件进行分类讨论.

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