Question

将棱长相等的正方体按图所示方式固定摆放，其中第1堆只有一层，就一个正方体；第2，3，…，n堆分别有二层，三层，…，n层，每堆最顶层都只有一个正方体，以f（n）表示第n堆的正方体总数，则f（3）=

 

；f（n）

 

（答案用n表示）．

Answer 1

分析：观察图形，结合已知可得f（1）=1，f（2）=4，f（3）=10
由图中的规律可得f（n）-f（n-1）=（1+2+3+…+n）
从而可得f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]
代入可求

解答：解：显然，f（1）=1，f（2）=4，f（3）=10
∵f（k）=f（k-1）+（1+2+3+…+k）=f（x-1）+

1

2

(k2+k)，
∴f（k）-f（k-1）=（1+2+3+…+k）=

1

2

(k2+k)，
从而f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]
=1+

1

2

(22+2)+

1

2

(32+3)+…+

1

2

(n2+n)
=

1

2

(12+22+32+…+n2)+

1

2

(1+2+3+…+n)
=

1

2

×

1

6

n(n+1)(2n+1)+

1

2

×

1

2

n(n+1)
=

1

6

n(n+1)(2n+1)
故答案为：10；

n(n+1)(n+2)

6

点评：本题主要考查了数列的通项公式在实际中的应用，解决本题的关键有两点：①由图形中的摆放归纳出一般规律f（k）-f（k-1）=（1+2+3+…+k）②要能利用跌代的方法求f（n）．