Question

讨论下述函数的奇偶性：
（1）f（x）=，
（2）f（x）=，
（3）f（x）=，
（4）f（x）=（常数a≠0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先化简函数，然后求出函数的定义域看其是否关于原点对称，最后判定f（-x）与f（x）的关系；
（2）分段函数的奇偶性的判定需要分段求解判定，分别在每一段上判定f（-x）与f（x）的关系；
（3）先求函数函数的定义域，然后化简函数解析式，可得函数f（x）的图象由两个点A（-1，0）与B（1，0）组成，
这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，从而得到结论；
（4）要分a＞0与a＜0两类讨论，先求出函数的定义域，判定是否对称，然后根据f（-x）与f（x）的关系进一步判定奇偶性即可．
解答：解：（1）函数定义域为R，
先化简：f（x）=+1=+1，
f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；

（2）须要分三段讨论：
①设x＞0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（+）=ln=-ln（-）=-f（x）
②设x＜0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（-）=ln=-ln（+）=-f（x）
③当x=0时f（x）=0，也满足f（-x）=-f（x）；
由①、②、③知，对x∈R有f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；

（3）∵⇒x²=1，
∴函数的定义域为{x|x=±1}，
∴f（x）=log₂1=0（x=±1），即f（x）的图象由两个点A（-1，0）与B（1，0）组成，
这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，
∴f（x）既是奇函数，又是偶函数；
（4）∵x²≤a²，

∴要分a＞0与a＜0两类讨论，
①当a＞0时，⇒函数的定义域为（-a，0）∪（0，a）
∴|x+a|＞0，∴f（x）=，
∴当a＞0时，f（x）为奇函数；
②当a＜0时，⇒函数的定义域为（a，0）∪（0，-a）
∵|x+a|＜0，∴f（x）=，取定义域内关于原点对称的两点x₁=，x₂=-，
∵f（）±f（-）=±≠0，
∴当a＜0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．