Question

讨论下述函数的奇偶性：
（1）f（x）=

16x+1 +2x

2x

，
（2）f（x）=

In( x+1 )+ x (x＞0) 0(x=0) In( 1-x + -x )(x＜0)

，
（3）f（x）=log2(

1-x2

+

x2-1

+1)，
（4）f（x）=

a2-x2

|x+a|-a

（常数a≠0）．

Answer 1

分析：（1）先化简函数，然后求出函数的定义域看其是否关于原点对称，最后判定f（-x）与f（x）的关系；
（2）分段函数的奇偶性的判定需要分段求解判定，分别在每一段上判定f（-x）与f（x）的关系；
（3）先求函数函数的定义域，然后化简函数解析式，可得函数f（x）的图象由两个点A（-1，0）与B（1，0）组成，
这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，从而得到结论；
（4）要分a＞0与a＜0两类讨论，先求出函数的定义域，判定是否对称，然后根据f（-x）与f（x）的关系进一步判定奇偶性即可．

解答：解：（1）函数定义域为R，
先化简：f（x）=

16x+1

4x

+1=

4x+4-x

+1，
f（-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数；

（2）须要分三段讨论：
①设x＞0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（

1+x

+

x

）=ln

1

x+1 - x

=-ln（-

x+1

-

x

）=-f（x）
②设x＜0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（

-x+1

-

-x

）=ln

1

1-x + -x

=-ln（

1-x

+

-x

）=-f（x）
③当x=0时f（x）=0，也满足f（-x）=-f（x）；
由①、②、③知，对x∈R有f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；

（3）∵

1-x2≥0 x2-1≥0

?x²=1，
∴函数的定义域为{x|x=±1}，
∴f（x）=log₂1=0（x=±1），即f（x）的图象由两个点A（-1，0）与B（1，0）组成，
这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，
∴f（x）既是奇函数，又是偶函数；
（4）∵x²≤a²，

∴要分a＞0与a＜0两类讨论，
①当a＞0时，

-a≤x≤a |x+a|≠a

?函数的定义域为（-a，0）∪（0，a）
∴|x+a|＞0，∴f（x）=

a2-x2

x

，
∴当a＞0时，f（x）为奇函数；
②当a＜0时，

-a≤x≤a |x+a|≠a

?函数的定义域为（a，0）∪（0，-a）
∵|x+a|＜0，∴f（x）=

a2-x2

-x-2a

，取定义域内关于原点对称的两点x₁=

a

2

，x₂=-

a

2

，
∵f（

a

2

）±f（-

a

2

）=

3

5

±

3

3

≠0，
∴当a＜0时，f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．