Question

已知函数f(x)=x⁴-4x³+ax²-1在区间［0,1］上单调递增，在区间［1,2］上单调递减.

(1)求实数a的值：

(2)设g(x)=bx²-1，若关于x的方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素，求实数b的取值范围.

Answer 1

解：（1）∵f′(x)=4x³-12x+2ax

∴f(x)在［0，1］上是增函数，在［1，2］上是减函数，

∴f′(1)=0得a=4.

f′(x)=4x³-12x²+8x=4x(x-1)(x-2)

当x∈［0,1］时，f′(x)≥0，而f(x)在此区间上为增函数，

当x∈［1,2］时，f′(x)≤0，而f(x)在此区间上为减函数，

即a=4符合题目要求.

（2）由f(x)=g(x),得x²(x²-4x+4-b)=0有3个相异的实根，

故x²-4x+4-b=0有两个相异的非零根.

∴Δ=16-4（4-b）＞0且4-b≠0.

得0＜b＜4或b＞4.