设集合 M={=0}为平面直角坐标系x Oy内的点集.若对于任意(x1.y1)∈M.存在(x2.y2)∈M.使得x1x2+y1y2＜0.则称点集 M满足性质 P．给出下列四个点集:①R={(x.y)|sinx-y+1=0}②S={(x.y)|lnx-y=0}③T={(x.y)|x2+y2-1=0}④W={(x.y)|xy-1=0}其中所有满足性质 P的点集的序号是( )A．①②B．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．设集合 M={（x，y）|F（x，y）=0}为平面直角坐标系x Oy内的点集，若对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂＜0，则称点集 M满足性质 P．给出下列四个点集：
①R={（x，y）|sinx-y+1=0}②S={（x，y）|lnx-y=0}
③T={（x，y）|x²+y²-1=0}④W={（x，y）|xy-1=0}
其中所有满足性质 P的点集的序号是（　　）

A．

①②

B．

③④

C．

①③

D．

②④

分析 ①取（0，1）∈R，则不存在（x₂，sinx₂+1）∈R，满足x₁x₂+y₁y₂＜0，即可判断出正误；
②取（1，0）∈S，则不存在（x₂，lnx₂）∈S（x₂＞0），满足x₁x₂+y₁y₂＜0，即可判断出正误；
③?（cosθ₁，sinθ₁）∈T，假设θ₁∈[0，2π），则存在（cosθ₂，sinθ₂）∈T，只要θ₂∈$（2kπ+\frac{π}{2}+{θ}_{1}，2kπ+\frac{3π}{2}+{θ}_{1}）$（k∈Z），满足cos（θ₁-θ₂）＜0，即满足x₁x₂+y₁y₂＜0，即可判断出正误．
④?$（{x}_{1}，\frac{1}{{x}_{1}}）$∈W，则取x₂=-x₁，满足${x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-${x}_{1}^{2}-\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$＜0，即可判断出正误．

解答解：①取（0，1）∈R，则不存在（x₂，sinx₂+1）∈R，满足0•x₂+1•（sinx₂+1）=sinx₂+1＜0，因此R不满足性质；
②取（1，0）∈S，则不存在（x₂，lnx₂）∈S（x₂＞0），满足1•x₂+0•lnx₂＜0，因此S不满足性质P；
③?（cosθ₁，sinθ₁）∈T，假设θ₁∈[0，2π），则存在（cosθ₂，sinθ₂）∈T，满足cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂=cos（θ₁-θ₂）＜0，只要θ₂∈$（2kπ+\frac{π}{2}+{θ}_{1}，2kπ+\frac{3π}{2}+{θ}_{1}）$（k∈Z），因此T满足性质P．．
④?$（{x}_{1}，\frac{1}{{x}_{1}}）$∈W，则取x₂=-x₁，满足${x}_{1}{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-${x}_{1}^{2}-\frac{1}{{x}_{1}^{2}}$＜0，因此W满足性质P．
综上可得：只有③④正确．
故选：B．

点评本题考查了新定义即函数满足的某种数量积性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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