题目内容
【题目】设抛物线的焦点为
,准线为
,
为过焦点
且垂直于
轴的抛物线
的弦,已知以
为直径的圆经过点
.
(1)求的值及该圆的方程;
(2)设为
上任意一点,过点
作
的切线,切点为
,证明:
.
【答案】(1),圆的方程为:
.(2)答案见解析
【解析】
(1)根据题意,可知点的坐标为
,即可求出
的值,即可求出该圆的方程;
(2)由题易知,直线的斜率存在且不为0,设
的方程为
,与抛物线
联立方程组,根据
,求得
,化简解得
,进而求得
点的坐标为
,分别求出
,
,利用向量的数量积为0,即可证出
.
解:(1)易知点的坐标为
,
所以,解得
.
又圆的圆心为,
所以圆的方程为.
(2)证明易知,直线的斜率存在且不为0,
设的方程为
,
代入的方程,得
.
令,得
,
所以,解得
.
将代入
的方程,得
,即
点的坐标为
.
所以,
,
.
故.
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