Question

数列{a_n}的前W项和为S_n，且S_n=

n2+3n

2

{a_n}数列{c_n}，满足c_n=

an，n为奇数 2n ，n为偶数

，
（I）求数列{a_n}的通项公式，并求数列{c_n}的前n项和{T_n}；
（II）张三同学利用第（I）问中的T_n设计了一个程序框图（如图），但李四同学认为这个程序如果被执行将会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意李四同学的观点？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）、根据题中数列{a_n}的前n项和为S_n，的公式便可推导出数列{a_n}的通项公式，根据给出的c_n的通项公式，分别讨论当n为奇数和偶数时数列{c_n}的前n项和{T_n}；
（II）分别讨论当n为偶数和奇数时Tn-P的最终结果为2011，故李四的说法正确，该程序会是一个死循环．

解答：解：（I）当n=1时，a₁=S₁=

1+3

2

=2，
当n≥2时，an=Sn-S_n-1=

1

2

（n²+3n-（n-1）²-3（n-1）=n+1，
∴an=n+1（n），当n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2ⁿ）=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1），
当n为偶数时，T_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（2²+2⁴+…+2^n-1）=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2^n-1-1），
∴Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)   n为偶数 n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)    n为奇数

；
（II）记D_n=T_n-P，则当n为偶数时，Dn=

n2+2n

4

+

4

3

（2ⁿ-1）-

n2

4

-24n=

4

3

（2ⁿ-1）-

47n

2

，
∴D_n+2-D_n=

4

3

（2ⁿ⁺¹-1）-

47(n+2)

2

-

4

3

（2ⁿ-1）-

47n

2

=2ⁿ⁺²-47，
∴从第四项开始，数列{D_n}的偶数项开始递增，
而D₂，D₄，…，D₁₀均小于2010，D₁₂＞2010，即n偶数时，Dn=2011，
当n为奇数时，Dn=

n2+4n+3

4

+

4

3

（2^n-1-1）-

n2

4

-24n=

4

3

（2^n-1-1）-23n+

3

4

，
同理D_n+2-D_n=2ⁿ⁺¹-46，
∴从第五项开始，数列{D_n}的奇数项开始递增，
而D₁，D₃，…，D₁₁均小于2010，D₁₃＞2010，即n偶数时，Dn=2011，
故李四的说法正确．

点评：本题考查了数列的基本知识和前n项和的求法以及循环结构，考查了学生的计算能力和对数列、循环结构的综合掌握，解题时注意分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．