Question

已知，e为自然对数lnx的底数．
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当0＜α＜β时，求证：；
（Ⅲ）求f（x）-x的最大值，并证明当n＞2，n∈N^*时，．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间即h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后将a分离，然后利用二次函数的性质求出不等式另一侧的最值，即可求出实数a的取值范围；
（Ⅱ）构造函数，可利用导数研究函数ϕ（x）在（0，y）的单调性，求最小值，即可证得结论；
（Ⅲ）令m（x）=f（x）-x=lnx-x，然后利用导数研究函数m（x）的单调性，从而可求出最值，得到lnx≤-1+x，从而得到，从而可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：函数．
∴在（0，+∞）上有解，
即ax²+3x-1＞0在（0，+∞）上有解，
由ax²+3x-1＞0得．
∵当x＞0，
∴a的范围是．                                          …（4分）
（Ⅱ）证明：构造函数．
∴．
∵0＜x＜y，
∴，即函数ϕ（x）在（0，y）上是减函数，且ϕ（y）=0．
∴，
原不等式成立．              …（8分）
（Ⅲ）证明：∵，令m（x）=f（x）-x=lnx-x，
∴
∴函数m（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴m（x）≤m（1），即f（x）-x的最大值为-1．                     …（11分）
由m（x）≤m（1）得lnx≤-1+x．
∴，…（12分）
∴=
当n＞2，n∈N^*时，． …（14分）
点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性和构造法的应用，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于难题．