Question

已知圆A：（x-1）²+y²=4与x轴负半轴交于B点，过B的弦BE与y轴正半轴交于D点，且2

BD

=

DE

，曲线C是以A，B为焦点且过D点的椭圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P在椭圆C上运动，点Q在圆A上运动，求PQ+PD的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设知B（-1，0），E（2，

3

），D（0，

3

3

），由此能求出椭圆方程．（2）由PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2，知PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4

3

3

+DB=2

3

，由此能得到PQ+PD的最大值．

解答：解：（1）由题设知B（-1，0），E（2，

3

），D（0，

3

3

），∴椭圆方程为

3

4

x2+3y2=1．
（2）∵PQ+PD≤（PA+2）+PD=（PA+PD）+2，
∴PA+PD=

4 3

3

-PB+PD≤

4

3

3

+DB=2

3

，
所以P在DB延长线与椭圆交点处，Q在PA延长线与圆的交点处，得到PQ+PD最大值为2+2

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．