题目内容
已知函数f(x)=2sin2(
+x)+
cos2x-1．
（1）若存在x0∈(0，
)，使f（x0）=1，求x0的值；
（2）设条件p：x∈[
，
]，条件q：-3＜f(x)-m＜
，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
| π |
| 4 |
| 3 |
（1）若存在x0∈(0，
| π |
| 3 |
（2）设条件p：x∈[
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 3 |
分析：（1）利用降幂公式与辅助角公式可将f（x）化简为：f（x）=2sin（2x+
），由f（x0）=1，x0∈（0，
），利用正弦函数的单调性即可求得x0的值；
（2）p是q的充分条件，则当x∈[
，
]时，-3＜f（x）-m＜
恒成立，利用正弦函数的性质可求得f（x）=2sin（2x+
）∈[-2，
]，从而可求得m的取值范围．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）p是q的充分条件，则当x∈[
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）f（x）=1-cos（
+2x）+
cos2x-1
=sin2x+
cos2x
=2sin（2x+
）…（3分）
令f（x0）=1，则2sin（2x0+
）=1，即sin（2x0+
）=
，…（4分）
因为x0∈（0，
），则2x0+
∈（
，π），
所以2x0+
=
，解得x0=
．…（6分）
（2）因为p是q的充分条件，则当x∈[
，
]时，
-3＜f（x）-m＜
恒成立，
即m-3＜f（x）＜
+m恒成立，
所以m-3＜f（x）min，且m+
＞f（x）max．…（8分）
当x∈[
，
]时，2x+
∈[
，2π]，从而sin（2x+
）∈[-1，
]，
所以f（x）=2sin（2x+
）∈[-2，
]．…（10分）
由
解得0＜m＜1．
故m 的取值范围是（0，1）．…（12分）
| π |
| 2 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
令f（x0）=1，则2sin（2x0+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
因为x0∈（0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
所以2x0+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 4 |
（2）因为p是q的充分条件，则当x∈[
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
-3＜f（x）-m＜
| 3 |
即m-3＜f（x）＜
| 3 |
所以m-3＜f（x）min，且m+
| 3 |
当x∈[
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
所以f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
由
|
故m 的取值范围是（0，1）．…（12分）
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，突出正弦函数的单调性与最值的考查，属于中档题．
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