题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明 PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求VB﹣EFD .
【答案】
(1)证明:连结AC,交BD于O,连结EO,
因为ABCD是正方形,点O是AC的中点,在三角形PAF中,EO是中位线,
所以PA∥EO,而EO面EDB,且PA面EDB,所以PA∥平面EDB
(2)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DC
在底面正方形中,DC⊥BC,
所以BC⊥面PDC,而DE面PDC,
所以BC⊥DE,
又PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC,
所以DE⊥面PBC,而PB面PBC,
所以DE⊥PB,
又EF⊥PB,且DE∩EF=E,
所以PB⊥平面EFD
(3)解:因为PD=DC=2,所以 ,
,
因为 ,所以
,
即 ,
,
,DE=
,BF=
=
=
,
所以VB﹣EFD= ×DE×EF×BF=
×
×
=
.
【解析】(1)利用线面平行的判定定理证明线面平行.(2)利用线面垂直的判定定理证明.(3)利用锥体的体积公式求体积.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键.

【题目】为调查某社区居民的业余生活状况,研究这一社区居民在20:00﹣22:00时间段的休闲方式与性别的关系,随机调查了该社区80人,得到下面的数据表:
休闲方式 | 看电视 | 看书 | 合计 |
男 | 10 | 50 | 60 |
女 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 20 | 60 | 80 |
(1)根据以上数据,能否有99%的把握认为“在20:00﹣22:00时间段居民的休闲方式与性别有关系”?
(2)将此样本的频率估计为总体的概率,随机调查3名在该社区的男性,设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X.求X的数学期望和方差.
P(X2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
附:X2= .