题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明 PA∥平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
(3)求VBEFD

【答案】
(1)证明:连结AC,交BD于O,连结EO,

因为ABCD是正方形,点O是AC的中点,在三角形PAF中,EO是中位线,

所以PA∥EO,而EO面EDB,且PA面EDB,所以PA∥平面EDB


(2)证明:因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DC

在底面正方形中,DC⊥BC,

所以BC⊥面PDC,而DE面PDC,

所以BC⊥DE,

又PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC,

所以DE⊥面PBC,而PB面PBC,

所以DE⊥PB,

又EF⊥PB,且DE∩EF=E,

所以PB⊥平面EFD


(3)解:因为PD=DC=2,所以

因为 ,所以

,DE= ,BF= = =

所以VBEFD= ×DE×EF×BF= × × =


【解析】(1)利用线面平行的判定定理证明线面平行.(2)利用线面垂直的判定定理证明.(3)利用锥体的体积公式求体积.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键.

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