Question

已知函数f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．
（Ⅲ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）代入m的值，把判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m分离出来，x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，转化为实数m小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）m=2时，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=4x-4；
（Ⅱ）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又h（1）=0，所以f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根； 
（Ⅲ）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，也就是m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
由G′(x)=

(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)•2x

(x2-1)2

=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2+1)2

，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=

4e

e2-1

，
则m的取值范围是(-∞，

4e

e2-1

)．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数零点的判断方法，考查了数学转化思想，训练了利用分离变量法解决恒成立的问题，数学转化思想是该题的精髓所在，属中高档题．