Question

记具有如下性质的函数的集合为M：对任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，则f（x₁）＜f（x₂），现给定函数①y=ln（|x|+1）②y=x²e^x③y=x⁴+x³+1④y=

1

2

x2+cosx则上述函数中，属于集合M的函数序号是______．

Answer 1

①若x₁²＜x₂²，则|x₁|＜|x₂|，所以ln（|x₁|+1）＜ln（|x₂|+1）即f（x₁）＜f（x₂）．所以①符合要求．
②令x₁=-

1

2

，x₂=-1，则x₁²＜x₂²．所以f（x₁）=

1

e

＞f（x₂）=

1

e

．所以②不符合要求．
③令x1=-

1

3

，x2=-

1

2

，则x₁²＜x₂²．所以f（x₁）=1-

2

81

＞f（x₂）=1-

1

16

．所以③不符合要求．
④由题意得y′=x+sinx，设f（x）=y′=x+sinx，所以f′（x）=1+cosx≥0恒成立，所以f（x）=y′=x+sinx是单调减函数．即得到当x＞0时y′＞0，当x＜0时y′＜0，所以当x＞0时，y=

1

2

x2+cosx是增函数，当x＜0时y=

1

2

x2+cosx是奇函数．
若x₁²＜x₂²，则|x₁|＜|x₂|，所以

1

2

|x1|2+cos|x1|＜

1

2

|x2|2+cos|x2|，由函数是偶函数可得

1

2

x12+cos|x1|＜

1

2

x22+cosx2．所以④符合要求．
故答案为：①④．