Question

已知动点P与双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若已知D（0，3），点M、N在动点P的轨迹上，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出双曲线的焦点坐标，利用动点P与双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6，可得动点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，且a=3，c=

5

，从而可求动点P的轨迹方程；
（2）设N（s，t），M（x，y），利用

DM

=λ

DN

，求出坐标之间的关系，根据M，N在动点P的轨迹C上，消去一个参数，即可求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁（

5

，0），F₂（-

5

，0）．
∵动点P与双曲线

x2

2

-

y2

3

=1的两个焦点F₁、F₂的距离之和为6，
∴动点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，且a=3，c=

5

，
∴b=

a2-c2

=

5

，
∴动点P的轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）设N（s，t），M（x，y），则
∵

DM

=λ

DN

，
∴（x，y-3）=λ（s，t-3），
∴x=λs，y=3+λ（t-3），
∵M，N在动点P的轨迹C上，
∴

s2

9

+

t2

4

=1，

(λs)2

9

+

(λt+3-3t)2

4

=1，
消去s可得

(λt+3-3λ)2-λ2t2

4

=1-λ2，
解得t=

13λ-5

6λ

．
∵|t|≤2，
∴|

13λ-5

6λ

|≤2，
解得

1

5

≤λ≤5．
∴实数λ的取值范围为[

1

5

，5]．

点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查解不等式，属于中档题．