题目内容

如图，A是抛物线x²=4y上异于原点的任意一点，F为抛物线的焦点，l为抛物线在A点处的切线，点B、C在抛物线上，AB⊥l且交y轴于M，点A、F、C三点共线，直线BC交y轴于N．
（1）求证：|AF|=|MF|；
（2）求|MN|的最小值．

（1）证明：设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x²=4y，∴y= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴直线l的斜率k₁= $\text{[math]}$
∵AB⊥l，∴k_AB=- $\text{[math]}$ ，∴直线AB的方程为y-y₀=- $\text{[math]}$ （x-x₀）
令x=0，则y=y₀+2，∴M（0，y₀+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y₀+1
由抛物线的定义可得|AF|=y₀+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）解：直线AB的方程代入抛物线方程，消去y可得 $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-2-y₀=0
∴x₁+x₀=- $\text{[math]}$ ，∴x₁=-x₀- $\text{[math]}$
设直线AC：y=kx+1代入抛物线方程，消去y可得x²-4kx-4=0，∴x₀x₂=-4，∴x₂=- $\text{[math]}$
∴k_BC= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，∴直线BC的方程为y-y₂=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（x-x2）
令x=0得y=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（-x₂）+y₂，代入x₂=- $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ ，化简得y=-1- $\text{[math]}$
∴N（0，-1- $\text{[math]}$ ），∴|MN|=y₀+2+1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 3≥3+2 $\text{[math]}$ 当且仅当x₀⁴=32时等号成立，
∴|MN|的最小值为3+2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出直线l的斜率，可得AB的斜率，从而可得直线AB的方程，令x=0，确定M的坐标，从而可得|MF|=y₀+1，由抛物线的定义可得|AF|=y₀+1，则可得结论；
（2）先确定BC的斜率，进而可得BC的方程，进一步确定N的坐标，可得|MN|，利用基本不等式，可得|MN|的最小值．
点评：本题考查抛物线的定义，考查直线方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．