Question

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．授课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可有以下的关系：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59                            (10＜x≤16) -2x+91                 (16＜x≤40)

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？这个强度可以持续多长时间？
（2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完？

Answer 1

分析：（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可．
（2）比较5分钟和15分钟学生的接受能力何时强，方法是把x=5代入第一段函数中，而x=15要代入到第二段函数中，比较大小即可．不同的自变量代入相应的解析式才能符合要求．
（3）考查分段函数图象和增减性，令f（x）=55，第一段函数解得x=6，第三段函数解得x=18，关键是从图象上知道6＜x＜18时，f（x）＞55，然后求出两个时间之差就是持续的时间，最后和13分钟比较大小即可．

解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
为开口向下的二次函数，对称轴为x=13
故f（x）的最大值为f（10）=59
当10＜x≤16时，f（x）=59
当x＞16时，f（x）=-2x+91为减函数，且f（x）＜59
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（5分）
（2）∵当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
∴f（5）=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5；
∵当x＞16时，f（x）=-2x+91，
∴f（20）=51．
故开讲20分钟时学生的接受能力比开讲5分钟时要弱一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=18，
且当6≤x≤18时，f（x）≥55
因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为18-6=12＜13，
故老师能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．（12分）．

点评：本题考查的是分段函数的基本知识及分段函数图象增减性的应用．解题时学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．