Question

在一个矩形体育馆的一角MAN内（如图所示），用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．
（1）若BC=a=10，求储存区域三角形ABC面积的最大值；
（2）若AB=AC=10，在折线MBCN内选一点D，使DB+DC=a=20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设AC=x，AB=y，（x，y为正数），由勾股定理可得x²+y²=10²=100，而三角形ABC的面积为：

1

2

xy，由基本不等式可得

1

2

xy≤

1

2

•

x2+y2

2

=25．
（2）只考虑三角形BCD的面积变化，点D的轨迹是一个椭圆，B、C是其焦点，结合椭圆的知识得结果．

解答：解：（1）设AC=x，AB=y，（x，y为正数），由勾股定理可得x²+y²=10²=100，
而三角形ABC的面积为：

1

2

xy，由基本不等式可得

1

2

xy≤

1

2

•

x2+y2

2

=25
当且仅当x=y，即AB=AC时，三角形ABC的面积取最大值25
（2）因为四边形DBAC面积可分为ABC跟BCD两个三角形来计算，而ABC面积为定值可先不考虑，
故只考虑三角形BCD的面积变化，以BC为底边，故当D点BC 的距离最长时面积取得最大值．
因为DB+DC=a=20总成立，所以点D的轨迹是一个椭圆，B、C是其焦点，
结合椭圆的知识可以知道只有当D点在BC的中垂线上时点D到BC的距离才能取得最大值，
再结合题意四边形DBAC刚好是一个边长为10的正方形，
故其面积最大值为：100．

点评：本题为基本不等式和椭圆知识的结合，数列掌握基本不等式和椭圆的定义是解决问题关键，属中档题．