题目内容

6.在平面直角坐标系xOy中,A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点,C为AB的中点,若抛物线y2=2px(p>0)过点C.
(1)求抛物线的方程.
(2)设抛物线的焦点为F,且直线AB与抛物线交于M、N两点,求△MNF的面积.

分析 (1)由x+y=2,分别令y=0,x=0,可得A,B,由中点坐标公式可得:C,代入抛物线方程可得p即可得出抛物线方程.
(2)由(1)可得:焦点F($\frac{1}{4}$,0),利用点到直线的距离公式可得:点F到直线AB的距离d,联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$,解得M,N坐标,可得|MN|,利用△MNF的面积S=$\frac{1}{2}|AB|•d$即可得出.

解答 解:(1)由x+y=2,分别令y=0,x=0,可得A(2,0),B(0,2),
由中点坐标公式可得:C(1,1),代入抛物线方程可得:12=2p×1,解得2p=1.
∴抛物线方程为y2=x.
(2)由(1)可得:焦点F($\frac{1}{4}$,0),
∴点F到直线AB的距离d=$\frac{{|{\frac{1}{4}+0-2}|}}{{\sqrt{2}}}$=$\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$,
∴M(1,1),N(4,-2).
∴|MN|=$\sqrt{(1-4)^{2}+(1+2)^{2}}$=$3\sqrt{2}$,
∴△MNF的面积S=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$•$3\sqrt{2}$=$\frac{21}{8}$.

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得交点坐标、弦长公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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