Question

某种电子玩具按下按健后，会出现红球和绿球．已知按键第一按下后，出现红球和绿球的概率都是

1

2

，从按键第二按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是

1

3

、

2

3

；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是

3

5

、

2

5

．记第n（n∈N*）次按下按键后出现红球的概率为p_n．
（1）求p₂；
（2）n≥2时，求p_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，p₂即第2次按下按键后出现红球的概率，分析可得，其包括第一次出现红球与绿球2种情况，由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案；
（2）分析题意，可得n≥2时，pn=

1

3

pn-1+

3

5

(1-pn)=

3

5

-

4

15

pn-1，类比数列的性质，可以构造等比数列{pn-

9

19

}，求出其通项公式，进而可得答案．

解答：解：（1）根据题意，p₂即第2次按下按键后出现红球的概率，
其包括第一次出现红球与绿球2种情况；
则p2=

1

2

×

1

3

+

1

2

×

3

5

=

7

15

．
（2）依题意，n≥2时，pn=

1

3

pn-1+

3

5

(1-pn)=

3

5

-

4

15

pn-1，
设常数λ∈R，使pn-λ=-

4

15

(pn-1-λ)，即pn=

19

15

λ-

4

15

pn-1，解

19

15

λ=

3

5

得λ=

9

19

，
所以{pn-

9

19

}是首项为p1-

9

19

=

1

38

，公比为-

4

15

的等比数列，
所以pn-

9

19

=

1

38

×(-

4

15

)n-1，
解得pn=

1

38

[18+(-

4

15

)n-1]．

点评：（2）有一定难度，要求学生将题中文字语言转化为符号语言，建立递推关系，通过适当“平移”将一次递推关系转化为等比关系，依据等比数列基本性质求解．