Question

13．已知二次函数f（x）=x²+2x-1
（1）若奇函数h（x）的定义域和值域都是区间[-k，k]，且x∈[-k，0]，h（x）=-f（x）-1，求k的值；
（2）设函数g（x）=log_t[f（x）-（t+2）x+2]，其中0＜t＜2且t≠1．求证：恒存在实数p，q，r∈[0，1]，使得g（p）+g（q）＜g（r）成立．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义可得h（x）的解析式，由于奇函数h（x）的定义域和值域都是区间[-k，k]，则可令h（x）=±x，解得k=1和3，再加以检验即可得到k的值；
（2）运用对数函数的运算性质和单调性，结合题意，讨论0＜t＜1和1＜t＜2时，举出p，q，r的数值，即可判断是否存在．

解答 （1）解：x∈[-k，0]，h（x）=-f（x）-1=-x²-2x，
令x∈[0，k]，-x∈[-k，0]，h（-x）=-x²+2x，
由奇函数h（x）可得h（-x）=-h（x），
即有h（x）=x²-2x（0≤x≤k），
综上可得，h（x）=x|x|-2x（-k≤x≤k），
由于奇函数h（x）的定义域和值域都是区间[-k，k]，
则可令h（x）=±x，
由x|x|-2x=x，解得x=3（0舍去）；
由x|x|-2x=-x，解得x=1（0舍去）．
当k=1时，即有定义域和值域为[-1，1]，
由y=x²-2x（0≤x≤1）可得值域为[-1，0]；
由y=-x²-2x（-1≤x≤0）可得值域为[0，1]，
则有h（x）的值域为[-1，1]；
当k=3时，即有定义域和值域为[-3，3]，
由y=x²-2x（0≤x≤3）可得值域为[-1，3]；
由y=-x²-2x（-3≤x≤0）可得值域为[-3，1]，
则有h（x）的值域为[-3，3]；
综上可得，k=1或3；
（2）证明：函数g（x）=log_t[f（x）-（t+2）x+2]
=log_t（x²-tx+1）（0＜t＜2且t≠1），
由g（p）+g（q）＜g（r）即为
log_t（p²-tp+1）+log_t（q²-tq+1）＜log_t（r²-tr+1），
即为log_t[（p²-tp+1）（q²-tq+1）]＜log_t（r²-tr+1），
当1＜t＜2时，有（p²-tp+1）（q²-tq+1）＜r²-tr+1，
即为（p²-p+1）（q²-q+1）＜r²-r+1，且（p²-2p+1）（q²-2q+1）＜r²-2r+1，
存在p=q=r=$\frac{1}{2}$，成立；
同样当0＜t＜1时，存在p=q=$\frac{1}{2}$，r=$\frac{7}{8}$使得g（p）+g（q）＜g（r）成立．
故有恒存在实数p，q，r∈[0，1]，使得g（p）+g（q）＜g（r）成立．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的奇偶性和值域的求法，同时考查存在性命题的证明，注意运用列举法的运用，属于中档题和易错题．