题目内容
（2006•朝阳区一模）设函数f（x）在定义域D上满足f（
）=-1，f（x）≠0，且当x，y∈D时，f（x）+f（y）=f（
），若数列{xn}中，x1=
，xn+1=
（xn∈D，n∈N*），则数列{f（xn）}的通项公式为（ ）
| 1 |
| 2 |
| x+y |
| 1+xy |
| 1 |
| 2 |
| 2xn | ||
1+
|
分析：由所给的函数关系式知f(xn)+f(xn)=f(
)，而数列之间又具备一个递推式，把递推式代入函数式得2f（xn）=f（xn+1），所以数列{f（xn）}是一个首项为-1，公比是2的等比数列，得到结果．
| 2xn | ||
1+
|
解答：解：∵f（x）+f（y）=f（
），
∴f(xn)+f(xn)=f(
)
∵xn+1=
∴2f（xn）=f（xn+1），
∴数列{f（xn）}是首项为-1，公比是2的等比数列，
∴f（xn）=-2n-1，
故选B
| x+y |
| 1+xy |
∴f(xn)+f(xn)=f(
| 2xn | ||
1+
|
∵xn+1=
| 2xn | ||
1+
|
∴2f（xn）=f（xn+1），
∴数列{f（xn）}是首项为-1，公比是2的等比数列，
∴f（xn）=-2n-1，
故选B
点评：这种题目可以提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
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