题目内容
一条直线经过抛物线y2=2x的焦点F,且交抛物线于A、B两点,点C为抛物线的准线上一点.(Ⅰ)求证:∠ACB不可能是钝角;
(Ⅱ)是否存在这样的点C,使得△ABC是正三角形?若存在,求出点C的坐标;否则,说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)设直线AB的方程为
,与抛物线方程联立
得y2-2ty-1=0,利用韦达定理就,及用坐标表示向量,计算向量的数量积,即可证得结论;
(Ⅱ)假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由(Ⅰ)得AB的中点坐标M(
).先确定AB的斜率必存在,再利用CM⊥AB知kCMkAB=-1,确定C(
),利用
,从而可得点C的坐标,即可得出结论.
解答:(Ⅰ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(
),直线AB的方程为
.
由
得y2-2ty-1=0,则y1+y2=2t,y1y2=-1.
于是
.…3
∵
,
于是
,
所以∠ACB不可能是钝角.…2
(Ⅱ)解:假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由(Ⅰ)得AB的中点坐标M(
).
①若直线AB的斜率不存在,这时t=0,A(
),B(
),点C的坐标只可能是(
).
由
得
,这是不可能的,于是AB的斜率必存在.…3
②由CM⊥AB知kCMkAB=-1,即
,得m=t3+2t,从而C(
).
,
.
由
得
,解之得
.
此时点C(
).故存在点C(
),使得△ABC是正三角形.…6
点评:本题考查抛物线的应用,考查向量知识,考查存在性问题,解题的关键直线与抛物线的联立,灵活运用韦达定理求解.


(Ⅱ)假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由(Ⅰ)得AB的中点坐标M(



解答:(Ⅰ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(


由

于是

∵

于是

所以∠ACB不可能是钝角.…2
(Ⅱ)解:假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由(Ⅰ)得AB的中点坐标M(

①若直线AB的斜率不存在,这时t=0,A(



由


②由CM⊥AB知kCMkAB=-1,即




由



此时点C(


点评:本题考查抛物线的应用,考查向量知识,考查存在性问题,解题的关键直线与抛物线的联立,灵活运用韦达定理求解.

练习册系列答案
相关题目
在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )
A、(-2,-9) | B、(0,-5) | C、(2,-9) | D、(1,6) |