题目内容

一条直线经过抛物线y2=2x的焦点F,且交抛物线于A、B两点,点C为抛物线的准线上一点.
(Ⅰ)求证:∠ACB不可能是钝角;
(Ⅱ)是否存在这样的点C,使得△ABC是正三角形?若存在,求出点C的坐标;否则,说明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)设直线AB的方程为,与抛物线方程联立得y2-2ty-1=0,利用韦达定理就,及用坐标表示向量,计算向量的数量积,即可证得结论;
(Ⅱ)假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由(Ⅰ)得AB的中点坐标M().先确定AB的斜率必存在,再利用CM⊥AB知kCMkAB=-1,确定C(),利用,从而可得点C的坐标,即可得出结论.
解答:(Ⅰ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(),直线AB的方程为
得y2-2ty-1=0,则y1+y2=2t,y1y2=-1.
于是.…3

于是
所以∠ACB不可能是钝角.…2
(Ⅱ)解:假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由(Ⅰ)得AB的中点坐标M().
①若直线AB的斜率不存在,这时t=0,A(),B(),点C的坐标只可能是().
,这是不可能的,于是AB的斜率必存在.…3
②由CM⊥AB知kCMkAB=-1,即,得m=t3+2t,从而C().


,解之得
此时点C().故存在点C(),使得△ABC是正三角形.…6
点评:本题考查抛物线的应用,考查向量知识,考查存在性问题,解题的关键直线与抛物线的联立,灵活运用韦达定理求解.
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