Question

已知f(x)=3sin(2x-

π

6

)，若α∈（0，π）存在，使f（x+α）=f（x-α）对一切实数x恒成立，则α=

π

2

．

Answer 1

分析：首先根据f（x+α）=f（x-α）以及利用两角和与差公式得出2cos（2x-

π

6

）sin2α=0，然后根据正弦函数的特点和α的范围，求得α的值．

解答：解：∵f（x+α）=f（x-α）
∴f（x+α）-f（x-α）=0
即3{sin[（2x-

π

6

）+2α]-sin[（2x-

π

6

）-2α]}=3{sin（2x-

π

6

）cos2α+cos（2x-

π

6

）sin2α-sin（2x-

π

6

）cos2α+cos（2x-

π

6

）sin2α}=2cos（2x-

π

6

）sin2α=0
∵f（x+α）=f（x-α）对一切实数x恒成立
∴sin2α=0
∵α∈（0，π）
∴α=

π

2

故答案为：

π

2

点评：此题考查了两角和与差公式以及正弦函数的特点，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．