Question

设向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

（1）把y表示成x的函数y=f（x）；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根，A，B是△ABC的两个内角，求tanC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意，

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

，利用内积为0可得出关于y与x的方程，再用x表示出y即可得到函数y=f（x）；
（2）由于tanC=-tan（A+B），结合公式tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

及tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根利用根与系数的关系即可将tanC用m表示出来，再由题设条件求出m的取值范围，即可求出tanC的取值范围

解答：解：（1）∵向量

a

=(mx+m-1，-1)，

b

=(x+1，y)，m∈R，且

a

⊥

b

∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0     2’
y=f（x）=mx²+（2m-1）x+m-1        4’
（2）由题意A，B是△ABC的两个内角
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的两个实根
∴△≥0⇒m≤

1

8

         8’
tanA+tanB=

1-2m

m

，tanAtanB=

m+1

m

∴tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=2m-1  
∴tanC=1-2m           9’
A，B是三角形的内角，至多一个为钝角，tanA，tanB中至多有一个取负值，且都不为零
若都为正，由韦达定理tanA+tanB=

1-2m

m

＞0，得0＜m＜

1

2

，又m≤

1

8

，可得0＜m≤

1

8

，故有tanC=1-2m∈[

3

4

，1) 10’
若一正一负，由韦达定理tanAtanB=

m+1

m

＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’
综上 tanC∈[

3

4

，1)∪(1，3)      12’

点评：本题考点是平面向量的综合题，考查了数量积的运算，正切的和角公式，根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，本题的难点是对参数取值范围的讨论，易因为没有考虑方程两根tanA，tanB的符号导致扩大了范围，产生错误，解题时要注意通盘考虑题词设中的限制条件，等价转化，考察了转化的思想方程的思想及分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大，有一个严谨做题的好习惯可避免出错