题目内容

已知数列{an}中，a1=1，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若函数（n∈N，且n≥2），求函数f（n）的最小值；
（3）设bn=，Sn表示数列{bn}的前n项和。试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+S3+…+Sn-1=（Sn-1）·g（n）对于一切不小于2的自然数n恒成立？ 若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

解：（1）由点P在（an，an+1）直线x-y+1=0上，
即，且，
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
，同样满足，
所以；
（2），
，
，
所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是；
（3），
可得，
，
，
……
，
，
，n≥2 ，
，
故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。

练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
 
．
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
2n
an
}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=
1
2
，Sn为数列的前n项和，且Sn与
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*），则
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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