题目内容
如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是 | TN |
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．
分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出sinθcosθ=
，通过θ的范围求出t的范围，得到S关于t的表达式，利用二次函数的性质求出S的最大值．
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出sinθcosθ=
| t2-1 |
| 2 |
解答：
解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ(0≤θ≤
)．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t2=（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=
，
∴S=49-42t+18（t2-1）=18t2-42t+31． （9分）
又由0≤θ≤
，可得
≤θ+
≤
，
故t=sinθ+cosθ=
sin(θ+
)∈[1，
]，
∴S关于t的表达式为S=18t2-42t+31（t∈[1，
]）．（11分）
又由S=18(t-
)2+
，t∈[1，
]
可知当t=
时，S取最大值，
故S的最大值为67-42
．（14分）
解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ(0≤θ≤
| π |
| 2 |
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t2=（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=
| t2-1 |
| 2 |
∴S=49-42t+18（t2-1）=18t2-42t+31． （9分）
又由0≤θ≤
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
故t=sinθ+cosθ=
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴S关于t的表达式为S=18t2-42t+31（t∈[1，
| 2 |
又由S=18(t-
| 7 |
| 6 |
| 13 |
| 2 |
| 2 |
可知当t=
| 2 |
故S的最大值为67-42
| 2 |
点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，注意必须注明函数的定义域，利用换元法求出函数的表达式，二次函数的最值的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
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