Question

15．对于四面体ABCD，以下命题中，真命题的序号为（　　）
①若AB=AC，BD=CD，E为BC中点，则平面AED⊥平面ABC；
②若AB⊥CD，BC⊥AD，则BD⊥AC；
③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；
④若以A为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；
⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 在①中：直接由面面垂直的判定证明平面AED⊥平面ABC；在②中：通过四面体的两组相对棱互相垂直，借助于底面三角形的垂心证明第三对相对棱垂直；在③中：由正四面体外接球与内切球与正四面体高的关系得四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1；在④中：由已知条件证明三角形BCD每一个顶点与A的射影的连线垂直于对边，说明A在平面BCD内的射影为△BCD的垂心；在⑤中：由三角形的中位线平行于底边，说明命题⑤错误．

解答 解：如图，
对于①，∵AB=AC，BD=CD，E为BC中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC，
又AE∩ED=E，∴BC⊥面AED，
∴面AED⊥平面ABC，∴命题①正确；
对于②，过A作底面BCD的垂线AO，垂足为O，
连结BO并延长交CD于F，连结DO并延长交BC于E，
由线面垂直的判定可以证明BF⊥CD，DE⊥BC，从而可知O为底面三角形的垂心，
连结CO并延长交BD于G，则CG⊥BD，再由线面垂直的判断得到BD⊥面ACG，从而得到BD⊥AC．
∴命题②正确；
对于③，若所有棱长都相等，四面体为正四面体，该四面体的外接球半径是四面体高的四分之三，
内切球的半径是四面体高的四分之一，∴该四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1．
∴命题③错误；
对于④，若AB⊥AC⊥AD，过A作底面BCD的垂线AO，垂足为O，
由AB⊥AC，AB⊥AD，且AC∩AD=A，得AB⊥面ACD，则AB⊥CD，进一步由线面垂直的判定证得CD⊥面ABO，
则BO⊥CD，同理可证CO⊥BD，说明O为△BCD的垂心．命题④正确；
对于⑤，如图，
∵E、F、G、H分别为BC、AC、BD、AD的中点，
∴HF∥DC，GE∥DC，
∴EFHG为平面四边形．
∴命题⑤错误．
∴真命题的序号是①②④．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了线面、面面垂直的判断与性质，考查了学生的空间想象能力，是中档题