题目内容
已知椭圆
=1（a＞b＞0）的离心率为
，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2
垂直于直线l1，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程：
（3）C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足
，若R、S到x轴的距离分别为d1和d2，求d1+d2的最小值．
【答案】分析：（1）先由离心率为 
，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程；
（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用
求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标表示出 d1+d2，利用函数求最值的方法即可求 d1+d2的最小值．
解答：解：（1）由
得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，
得
，
，∴椭圆C1的方程为：
．（4分）
（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，
F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）
（3）Q（0，0），设
，
∴
，
由
，得
，∴y1y2=-16，
∴d1+d2=|y1|+|y2|═|y1|+|
|≥8，
当y1=±4时取等号，d1+d2的最小值为8．
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．
，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C1的方程；（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，F2为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C2的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用
求出点R，S的坐标之间的关系，再用点R，S的坐标表示出 d1+d2，利用函数求最值的方法即可求 d1+d2的最小值．解答：解：（1）由
得2a2=3b2，又由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，得
，，∴椭圆C1的方程为：．（4分）（2）由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1：x=-1为准线，
F2为焦点的抛物线，∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x．（8分）
（3）Q（0，0），设
，∴
，由
，得，∴y1y2=-16，∴d1+d2=|y1|+|y2|═|y1|+|
|≥8，当y1=±4时取等号，d1+d2的最小值为8．
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．
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=1（a＞b＞0）的离心率为
，
,则椭圆方程为（ ）
=1
=1
=1
=1
+
=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则
的最大值为 ．
+
=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则
的最大值为 ．
=1（a＞b＞0）过点（1，
），离心率为
=2；
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若
(应为PB)，则离心率为
B、
C、
D、