【答案】
分析:(1)先由离心率为

,求出a,b,c的关系,再利用直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C
1的短半轴长为半径的圆相切,求出b即可求椭圆C
1的方程;
(2)把题中条件转化为动点M的轨迹是以l
1:x=-1为准线,F
2为焦点的抛物线,即可求点M的轨迹C
2的方程;
(3)先设出点R,S的坐标,利用

求出点R,S的坐标之间的关系,再用点R,S的坐标表示出 d
1+d
2,利用函数求最值的方法即可求 d
1+d
2的最小值.
解答:解:(1)由

得2a
2=3b
2,又由直线l:y=x+2与圆x
2+y
2=b
2相切,
得

,

,∴椭圆C
1的方程为:

.(4分)
(2)由MP=MF
2得动点M的轨迹是以l
1:x=-1为准线,
F
2为焦点的抛物线,∴点M的轨迹C
2的方程为y
2=4x.(8分)
(3)Q(0,0),设

,
∴

,
由

,得

,∴y
1y
2=-16,
∴d
1+d
2=|y
1|+|y
2|═|y
1|+|

|≥8,
当y
1=±4时取等号,d
1+d
2的最小值为8.
点评:本题是对圆与椭圆知识的综合考查.当直线与圆相切时,可以利用圆心到直线的距离等于半径求解.,也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解.