题目内容

已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2
垂直于直线l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程:
(3)C2与x轴交于点Q,不同的两点R,S在C2上,且满足,若R、S到x轴的距离分别为d1和d2,求d1+d2的最小值.
【答案】分析:(1)先由离心率为 ,求出a,b,c的关系,再利用直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切,求出b即可求椭圆C1的方程;
(2)把题中条件转化为动点M的轨迹是以l1:x=-1为准线,F2为焦点的抛物线,即可求点M的轨迹C2的方程;
(3)先设出点R,S的坐标,利用 求出点R,S的坐标之间的关系,再用点R,S的坐标表示出 d1+d2,利用函数求最值的方法即可求 d1+d2的最小值.
解答:解:(1)由 得2a2=3b2,又由直线l:y=x+2与圆x2+y2=b2相切,
,∴椭圆C1的方程为:.(4分)
(2)由MP=MF2得动点M的轨迹是以l1:x=-1为准线,
F2为焦点的抛物线,∴点M的轨迹C2的方程为y2=4x.(8分)
(3)Q(0,0),设

,得,∴y1y2=-16,
∴d1+d2=|y1|+|y2|═|y1|+||≥8,
当y1=±4时取等号,d1+d2的最小值为8.
点评:本题是对圆与椭圆知识的综合考查.当直线与圆相切时,可以利用圆心到直线的距离等于半径求解.,也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解.
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