Question

已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．

(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；

(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】(1)易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，从而c≥＋1.于是c≥1，

且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.

故当x≥0时，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2.

(2)由(1)知c≥|b|.当c＞|b|时，有M≥＝.

令t＝，则－1＜t＜1，＝2－.

而函数g(t)＝2－ (－1＜t＜1)的值域是.

因此，当c＞|b|时，M的取值集合为.

当c＝|b|时，由(1)知b＝±2，c＝2.此时f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，从而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．综上所述，M的最小值为.