Question

如图所示，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，已知AB=2，AF=

2

．
（I）求证：EO⊥平面BDF；
（II）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

分析：（I）求证EO⊥平面BDF，由面面垂直关系及正方形的性质易得EO⊥BD，再由题设中的条件易得∠EOF=90°；
（II）求二面角A-DF-B的大小需先做角，可过O作OP⊥AD于P，过P作PM⊥DF于M，连接OM，可证得∠OMP即二面角的平面角，由于这个三角形是直角三角形，平面角易求．

解答：证明：（I）如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，对角线BD⊥AC，故有BD⊥平面ACEF，又EO?平面ACEF，故得BD⊥EO
又AB=2，AF=

2

．可求得AC=2

2

，即CO=AO=AF=CE=

2

，由于三角形ECO与三角形FAO都是直角三角形，故可得∠EOC=∠FOA=45°，所以∠EOF=90°，即EO⊥OF
又FO∩BD=O，故有EO⊥平面BDF
（II）过O作OP⊥AD于P，过P作PM⊥DF于M，连接OM，
由题设条件知F-AD-O是直二面角，故可得OP⊥面ADF，由此可得OP⊥DF，由作图，PM⊥DF，故有DF⊥面OMP，所以OM⊥DF，由此可证得∠OMP即二面角的平面角，
在直线三角形DOA中，由于OA=OD，故P是AD中点，易得OP=1
在直角三角形DAF中可求得DF=

6

，由P是中点得DP=1，
由于△DAF≈△DMP，故有

DP

DF

=

MP

AF

得MP=

DP×AF

DF

=

1× 2

6

=

3

3

在直角三角形OPM中，tan∠OMP=

OP

MP

=

1

3 3

=

3

二面角A-DF-B的大小为60°

点评：本题考查线面垂直的证明以及二面角的求法，对于求二面角，要注意其步骤为作角，证角，求角三步，尤其是第二步，证角易漏掉，做题时要切记．