Question

一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示（单位：m），一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车是否能通过隧道？并说明理由．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，得到A、B的坐标，设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），并求得其方程，依题意，集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m，从而设抛物线上点D的坐标为（x₀，-0.5），计算即可判断．

解答：解：如图，建立坐标系，则A（-3，-3），B（3，-3）．
设抛物线方程为x²=-2py（p＞0），
将B点坐标代入，得9=-2p•（-3），
∴p=

3

2

．
∴抛物线方程为x²=-3y（-3≤y≤0）．
∵车与箱共高4.5m
∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶0.5m．
设抛物线上点D的坐标为（x₀，-0.5），则x02=

3

2

，
∴x₀=±

3 2

=±

6

2

，
∴|DD^′|=2|x₀|=

6

＜3，故此车不能通过隧道．

点评：本题考查抛物线的简单性质，求得抛物线方程是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．