题目内容

已知曲线C1:y=ax2,(a>0)上一点A(1,a)到原点的距离是
26
,过原点O作OM、ON交C1于M、N两点,直线MN交y轴于点Q(0,y0),
(1)求曲线C1的方程;(2)当∠MON为锐角时,求y0的取值范围.
分析:(1)由题意可得
1+a2
=
26
,故a=5,故曲线C1的方程为 y=5x2
(2)设M (m,5m2 )、N (n,5n2 ),则由直线MN的方程求出y0=-5mn,由∠MON为锐角可得
OM
ON
>0,可得 mn<-
1
25
,或 mn>0,从而求得y0的取值范围.
解答:解:(1)由题意可得
1+a2
=
26
,∴a=5,故曲线C1的方程为 y=5x2
(2)设M (m,5m2 )、N (n,5n2 ),则直线MN的方程为 
y-5n2
5m2-5n2
x-n
m-n

令 x=0,可得 y0=-5mn.
由∠MON为锐角可得
OM
ON
=mn+25m2n2>0,∴mn<-
1
25
,或 mn>0,
∴y0<0,或  y0
1
5

故y0的取值范围是(-∞,0)∪(
1
5
,+∞)
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,求出 mn<-
1
25
,或 mn>0,是解题的关键.
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