题目内容

若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n+1
（n∈N*），则当n=1时，f（n）为（　　）
A．1B．
1
3
C．1+
1
2
+
1
3
D．非以上答案
f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n+1
（n∈N*），
n=1时，f（1）=1+
1
2
+
1
3
，
故选C．
练习册系列答案
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若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n+1
（n∈N*），则当n=1时，f（n）为（　　）
已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N+)．
经计算得f（2）=
3
2
，f（4）＞2，f（8）＞
5
2
，f（16）＞3，f（32）＞
7
2
…，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a，试问是否存在正整数m，使得1+
1
2
+
1
3
+…+
1
m
＞a？若存在，请给出符合条件的正整数m的一个值；若不存在，请说明理由．
对于n∈N+的命题，下面四个判断：
①若f（n）=1+2+22+…+2n，则f（1）=1；
②若f（n）=1+2+22+…+2n-1，则f（1）=1+2；
③若f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n+1
，则f（1）=1+
1
2
+
1
3
；
④若f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
，则f(k+1)=f(k)+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1
；
其中正确命题的序号为
③④
③④
．
（2012•闵行区一模）若f（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
3n-1
（n∈N*），则对于k∈N*，f（k+1）=f（k）+
1
3k
+
1
3k+1
+
1
3k+2
1
3k
+
1
3k+1
+
1
3k+2
．

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