题目内容
已知函数
（a＞0），且f′（1）=0．（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当
时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）根据且f'（1）=0求出a和b的关系即可，根据自变量的取值范围及a＞0，令导函数大于0得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据增减性得到函数的极值即可；
（Ⅱ）不存在，设两点A（x1，y1），B（x2，y2），代入到函数关系式中，然后求出直线AB的斜率，并求出在M的切线的斜率，两者相等得到等式，化简后令其左边设为函数g（t），求出函数g（t）的最小值，这表明在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵
，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
代入
，得
．
当f'（x）＞0时，
，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，
，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以，当x=1时，f（x）的极大值为
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，则
，
，
=
=
，
在函数图象
处的切线斜率
，
由
=
化简得：
，
=
．
令
，则t＞1，上式化为：
=
，即
，
若令
，
，
由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上单调递增，g（t）＞g（1）=2．
这表明在（1，+∞）内不存在t，使得
=2．
综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
点评：考查利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，以及直线斜率的计算公式．
（Ⅱ）不存在，设两点A（x1，y1），B（x2，y2），代入到函数关系式中，然后求出直线AB的斜率，并求出在M的切线的斜率，两者相等得到等式，化简后令其左边设为函数g（t），求出函数g（t）的最小值，这表明在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵
，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．代入
，得．当f'（x）＞0时，
，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，
，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以，当x=1时，f（x）的极大值为
（Ⅱ）在函数f（x）的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，则
，，==，在函数图象
处的切线斜率，由
=化简得：
，=．令
，则t＞1，上式化为：=，即，若令
，，由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上单调递增，g（t）＞g（1）=2．
这表明在（1，+∞）内不存在t，使得
=2．综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
点评：考查利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，以及直线斜率的计算公式．
练习册系列答案
相关题目
（a>0，且
，
的定义域； （２）讨论函数
，
(a>0)，若
，
，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是（ ）
(B)
(C)
(D)
（a＞0，且a≠1）
（A＞0，ω＞0，x∈（-∞，+∞））的最小正周期为π，且
，则函数y=f（x）在
上的最小值是（ ）
其中a>0，e为自然对数的底数。
的单调区间；