Question

正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，求这个正三角形的边长．

Answer 1

分析：根据抛物线的对称性可知，若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则另外两个定点关于x轴对称，就可的直线OA的倾斜角，据此求出直线OA的方程，与抛物线方程联立解出A点坐标，就可求出正三角形的边长．

解答：解：∵抛物线y²=2px关于x轴对称，
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，
则A，B点关于x轴对称，
∴直线OA倾斜角为30•斜率为

3

3

∴直线OA方程为y=

3

3

x，
由

y= 3 3 x y2=2px

得，

x=6p y=2 3 p

∴A（6p，2

3

p），则B（6p，-2

3

p），
∴|AB|=4

3

p
∴这个正三角形的边长为4

3

p

点评：本题主要考查了抛物线的对称性，直线方程的点斜式，以及曲线交点的求法，属于圆锥曲线的综合题．