题目内容

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.
分析:根据抛物线的对称性可知,若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则另外两个定点关于x轴对称,就可的直线OA的倾斜角,据此求出直线OA的方程,与抛物线方程联立解出A点坐标,就可求出正三角形的边长.
解答:解:∵抛物线y2=2px关于x轴对称,
∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,
则A,B点关于x轴对称,
∴直线OA倾斜角为30•斜率为
3
3

∴直线OA方程为y=
3
3
x,
y=
3
3
x
y2=2px
得,
x=6p
y=2
3
p

∴A(6p,2
3
p),则B(6p,-2
3
p),
∴|AB|=4
3
p
∴这个正三角形的边长为4
3
p
点评:本题主要考查了抛物线的对称性,直线方程的点斜式,以及曲线交点的求法,属于圆锥曲线的综合题.
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