Question

已知an=n∈N*求证：an＜1．

Answer 1

证明：（1）当n=1时，a₁=＜1，不等式成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即a_k=＜1
亦即1+2²+3²+…+k²＜（k+1）k
当n=k+1时：a_k+1=＜==（）k＜1．
所以n=k+1时，不等式也成立．
由（1）、（2）知，对一切n∈N*，不等式都成立．
即a_n＜1得证．
分析：首先分析题目已知a_n=求证：a_n＜1．考虑到可以应用数学归纳法求解，首先验证当n=1时，不等式成立，再假设n=k（k≥1）时，不等式成立，推得当n=k+1时不等式也成立．即得证．
点评：此题主要考查由数学归纳法证明不等式，数学归纳法在高考中属于重要的考点，应用广泛，需要同学们灵活掌握．